Hinweise für die Lehrerin/ den Lehrer:

Aufbau der Unterrichtssequenz

Didaktische Anmerkungen zum Aufbau

Didaktische Anmerkungen zum Einsatz vom CAS

Aufgabenlösungen

Literaturhinweise

Aufbau der Unterrichtssequenz:

Instruktionsaufgabe | Die Aufgabe 1 wird unter Anleitung der Lehrerin/ des Lehrers gelöst und somit die Lösungsstrategien für die erste Selbstlernphase bereitgestellt.
Erste Selbstlernphase | Aufgaben 2 bis 7 In dieser Phase sollen die Schülerinnen und Schüler anwendungsorientierte Aufgaben mit durch die bisher erworbenen mathematischen Vorkenntnisse lösen. Dabei werden die Übergänge von Durchschnittsgeschwindigkeit zur Momentatgeschwindigkeit und durchschnittliche Steigung zur Steigung in einem Punkte thematisiert. Ein Hilfesystem garantiert, dass alle Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgaben zu Ergebnissen und Erfolgserlebnissen kommen. Hierbei wird der Differenzenquotient und Grenzwert mit Hilfe einer Tabelle bestimmen. Dieser Teil enthält auch optionale Aufgaben, um Auswahlmöglichkeiten zu bieten und unterschiedliche Arbeitstempo gerecht zu werden.
Zweite Selbstlernphase | Funktionenmikroskop Um einen Punkt P(a/f(a)) herum wird der Graph solange gezoomt, bis optisch eine Gerade entsteht. Mit dem Trace-Modus kann man nun die Koordinaten zweier Punkte bestimmen, die auf der Geraden liegen, und daraus die Steigung berechnen. Der Zahlenwert dieser Geradensteigung heisst dann die Steigung (des Graphen) der Funktion f an der Stelle a.
Graphische Darstellung der Sekantensteigungsfunktion, Grenzwert durch Schließen des Lochpunktes bestimmen. Die Funktion f heißt an der Stelle a ableitbar (differenzierbar), wenn ihr Differenzenquotienten zur Stelle a einen eindeutig bestimmten Lochpunkt hat. Die zweite Koordinaten des Lochpunktes gibt dann die Steigung der Funktion f an der Stelle a an.
Algebraische Vereinfachung der Sekantensteigungsfunktion: x-Methode Grenzwert an der Stelle durch Einsetzen der "nicht definierten" Stelle a bestimmen.
Algebraische Vereinfachung der Sekantensteigungsfunktion: h-Methode Grenzwert durch Einsetzen von h=0 bestimmen.
Präsentationsphase | Partnergruppen stellen hier die Ergebnisse der ersten Selbstlernphase vor. Erkenntnisse aus der zweiten Selbstlernphase dürfen auch mit einfliesen.
Abschluss | Der Abschluss der Unterrichtsreihe bildet die Definition des Ableitungsbegriffs. Dieser zentrale Begriff sollte im Unterrichtsgespräch erarbeitet werden. Welche Formulierung gewählt wird, liegt im Ermessen der Lehrerin/ des Lehrers.

Didaktische Anmerkungen

Zur ersten Selbstlernphase

Aufgabe 3: Falls die Möglichkeit besteht, könne auch die Fahrbahnversuche als Experiment durchgeführt werden.

Aufgabe 6 (optional): Eine Weiterführung der Aufgabenstellung ist die Aufforderung an die Schülerinnen und Schüler, selbst Ideen für die Gestaltung der Auffahrt zu entwickeln und zu beurteilen. Dabei können knickfreie Übergänge und Einhaltung einer maximalen Steigfähigkeit Beurteilungsgesichtspunkte sein.

Zur zweiten Selbstlernphase

In dieser Phase sollen unterschiedliche Zugänge zum Ableitungsbegriff nebeneinander gestellt werden.

Funktionenmikroskop

Durch die Verwendung eines visuellen Hilfsmittels soll hier eine mögliche Grundvorstellung des Ableitungsbegriffs vermittelt werden: "Wir sehen uns den Graphen einer (geeigneten) Funktion f in der Nähe eines festen Punktes P mit einem "Mikroskop" an. Dabei bemerken wir, dass das beobachtete kleine Graphenstück bei hinreichend starker Vergrößerung praktisch geradlinig verläuft und somit eine gewisse Steigung besitzt. Dies ist die Steigung von f an der betreffenden Stelle." (vgl. Kirsch S. 25)

Das Funktionenmikroskop wird nicht nur demonstriert, sondern die Schülerinnen und Schüler werden zum "Nachbau" mit dem Graphikmodus des CAS angehalten. Dadurch wird ein tieferes Verständinis für das Vorgehen erwartet. Die unterschiedlichen Ergebnisse (wenn auch nur im Nachkommastellenbereich) können auf die Grenzen dieses Vorgehens hindeuten und diese Grenzen sollten vom Lehrer/ der Lehrerin problematisiert werden werden.

"Die Erörterungen der Beobachtungen am Funktionenmikroskop kann auch zu kritischen Fragen führen: Hat die Steigung im Bildfeld erscheinenden, nahezu geradlinigen Graphenstücks einen nicht nur experimentell, sondern auch im mathematischen Sinn wohlbestimmten Wert; mit anderen Worten: kann die - als Verlängerung dieses Graphenstücks gewonnene -Tangente "nicht wackeln"?" (vgl. Kirsch S. 26)

Die Arbeit mit dem Funktionenmikroskop soll nur die Grundvorstellung stärken, nicht aber als rechnerische Methode zur Berechnung der Ableitung im Kurs eingesetzt werden. Spätestens bei der Einführung des Ableitungsbegriffs muss auf die Grenzen der Methode hingewiesen werden.

Zum Einsatz von CAS

Die Lernenden haben hier die Möglichkeit, aktiv zu sein. Sie sollen nicht das Dargebotene konsumieren, sondern selbst nachkonstruieren und neu konstruieren. Daneben hat das System die Aufgabe, ein Feedback zu geben. Da nicht mehr jede Antwort, wie beim Frontalunterricht durch Reaktionen des Lehrers, sei es nur in Form von Mimik und Gestik, eine Rückmeldung erfährt, benötigt der Lernende ein Instrument, das ihm anzeigt, ob sein gewählter Lösungsweg erfolgversprechend ist.

Hierbei ist dem Nachkonstruieren mit Hilfe des CAS bewußt dem Vorzug vor einer Demonstration mit Applets, um die Schülerinnen und Schüler an das Werkzeug CAS stärker zu gewöhnen, damit sie diese Kenntnisse auch auf mathematische Probleme anwenden, die nicht in einem unmittelbaren Zusammenhang mit dieser Unterrichtsreihe stehen.

Literatur:

Blum, Werner; Krisch, Arnold, Anschaulichkeit und Strenge in der Analysis IV, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 3, 1979, Ernst Klett Verlag: Stuttgart 1979

Hattig, Harald; Herfort, Peter, Mathematik, Studienbriefe zur Fachdidaktik für Lehrer der Sekundarstufe II, MA 1 Analysis, Deutsches Institut für Fernstudien: Tübingen 1978

Danckwerts Rainer/ Vogel Dankwart, Analysis für den Leistungskurs,J.B. Metzer: Stuttgart 1986